对 (x − 4y) 在矩形 −1 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 2 上的积分：描述积分区域，求出这个二重积分，再交换积分次序重算一遍。

Step-by-step solution

1. 1

   (a) 认出积分区域。 四个积分限全是常数，所以区域就是矩形

   $D=\{(x,y):-1\le x\le 1,\ 0\le y\le 2\}$

   它的四个顶点是 $(-1,0)$、$(1,0)$、$(1,2)$ 和 $(-1,2)$。

2. 2

   (b) 利用 x 区间的对称性。 区间 $[-1,1]$ 关于 $0$ 对称，而 $x$ 是奇函数，所以

   $\int_{-1}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1}=\frac12-\frac12=0$

   这样，还没轮到处理 $y$，含 $x$ 的那一整项就已经消失了。

3. 3

   把剩下的那一项对 x 积分。 把 $y$ 当作常数，

   $\int_{-1}^{1}(-4y)\,dx=-4y\big[x\big]_{-1}^{1}=-4y(2)=-8y$

   所以内层积分等于 $0-8y=-8y$。

4. 4

   再对 y 积分。

   $\int_{0}^{2}(-8y)\,dy=\left[-4y^{2}\right]_{0}^{2}=-16$

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   (c) 交换次序，验证结果。

   $\int_{-1}^{1}\!\!\int_{0}^{2}(x-4y)\,dy\,dx=\int_{-1}^{1}\left[xy-2y^{2}\right]_{0}^{2}dx=\int_{-1}^{1}(2x-8)\,dx=\big[x^{2}-8x\big]_{-1}^{1}=(1-8)-(1+8)=-16$

   $\boxed{-16}$

6. 6

   检查符号和量级是否合理。 在这个矩形上 $y$ 最大取到 $2$，所以 $-4y$ 最低到 $-8$，而 $x$ 平均起来毫无贡献；于是被积函数的平均值是 $-4\bar y=-4$，矩形面积是 $2\times 2=4$，两者相乘得 $-4\times 4=-16$ ✓。