求 x·y² 在 x 从 0 到 π、y 从 0 到 2sin x 的区域上的二重积分。

Step-by-step solution

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   选定积分次序 $dy\,dx$。 区域下方以 $y=0$ 为界，上方以曲线 $y=2\sin x$ 为界，而 $x$ 跑遍固定区间 $[0,\pi]$。这个描述本身就是「$x$ 的限是常数、$y$ 的限是函数」的样子，所以先对 $y$ 积分不需要任何额外准备：

   $\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2\sin x}xy^{2}\,dy\,dx.$

   反过来的话，就得把 $y=2\sin x$ 反解出来，还要在 $x=\pi/2$ 处把区域切开——麻烦得多。

2. 2

   先做内层积分，把 $x$ 当作常数。

   $\int_{0}^{2\sin x}xy^{2}\,dy=x\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2\sin x}=\frac{x(2\sin x)^{3}}{3}=\frac{8}{3}x\sin^{3}x.$

   正是这个三次方让外层积分变得棘手，所以下一步就来收拾它。

3. 3

   用三倍角公式把 $\sin^{3}x$ 线性化。 由 $\sin 3x=3\sin x-4\sin^{3}x$ 得 $\sin^{3}x=\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{4}$。正弦的幂没法直接和 $x$ 一起积分，但一次方的正弦可以用分部积分对付，所以：

   $\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}x\sin^{3}x\,dx=2\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx-\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi}x\sin 3x\,dx.$

4. 4

   两项都取 $u=x$ 做分部积分。 由 $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x$：

   $\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\big[-x\cos x+\sin x\big]_{0}^{\pi}=\pi.$

   由 $\int x\sin 3x\,dx=-\dfrac{x\cos 3x}{3}+\dfrac{\sin 3x}{9}$：

   $\int_{0}^{\pi}x\sin 3x\,dx=\left[-\frac{x\cos 3x}{3}+\frac{\sin 3x}{9}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{3},$

   这里用到了 $\cos 3\pi=-1$ 和 $\sin 3\pi=0$。

5. 5

   合并结果并检验。

   $2(\pi)-\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi-\frac{2\pi}{9}=\frac{16\pi}{9}\approx 5.5851.$

   对 $\tfrac{8}{3}x\sin^{3}x$ 在 $[0,\pi]$ 上做数值积分得到 $5.5850536$，与 $\tfrac{16\pi}{9}=5.5850536$ 相符。结果为正也是必然的：在 $R$ 上处处有 $x\ge0$、$y^{2}\ge0$。