求 x^(n−1)/n 从 n = 1 到无穷的和。

Step-by-step solution

1. 1

   移动指数，凑成标准级数。 我们熟悉的恒等式分子上是 $x^{n}$，不是 $x^{n-1}$。当 $x\neq 0$ 时，把一个 $x$ 从整个和式里提出来：

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$

   限制条件 $x\neq 0$ 是在这一步引入的，后面必须回头处理。

2. 2

   用对数级数。 把几何级数 $\sum_{n\ge 0}t^{n}=\dfrac{1}{1-t}$ 从 $0$ 到 $x$ 逐项积分，得到

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x),\qquad |x|<1$

3. 3

   除以 $x$ 就得到闭式。

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x},\qquad 0<|x|<1$

4. 4

   单独处理 $x=0$。 原级数在 $x=0$ 处是 $\dfrac{0^{0}}{1}+0+0+\cdots$，首项是有歧义的 $0^{0}$；闭式那边同样是 $\tfrac00$。两者都靠求极限来化解：

   $\lim_{x\to 0}\frac{-\ln(1-x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1/(1-x)}{1}=1$

   用的是洛必达法则。所以 $x=0$ 是可去奇点，在那里自然的取值是 $1$。

5. 5

   写出完整答案。

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=\begin{cases}-\dfrac{\ln(1-x)}{x},&0<|x|<1\\[4pt]1,&x=0\end{cases}$

   数值验证：取 $x=0.4$，前 400 项部分和为 $1.27706405941$，而 $-\ln(0.6)/0.4=1.27706405941$ ✓。