对 y = log(sin x) 关于 x 求导。

Step-by-step solution

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   看清复合结构。 这个函数是一个对数套着一个三角函数，也就是 $\ln u$，内层函数为 $u=\sin x$。这就该用链式法则，而不是去套什么对数恒等式。

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   写出链式法则。 对 $y=\ln u$，$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx}.$

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   对内层函数求导。 由 $u=\sin x$ 得 $\dfrac{du}{dx}=\cos x$。

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   代回并化简。 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x.$

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   注意定义域，并做数值检验。 原函数要求 $\sin x>0$，所以导数 $\cot x$ 只在这些区间上成立。在 $x=1$ 处导数为 $\cot 1\approx 0.642093$，与 $\ln(\sin x)$ 在 $x=1$ 处的数值差商吻合。