把下列极限看成定积分来求值：当 n 趋于无穷时，∑（i 从 1 到 n）(3 + 2i/n)² × (2/n) 的极限。

Step-by-step solution

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   把这个和式与积分的定义对照。 $f$ 在 $[a,b]$ 上取右端点的黎曼和是

   $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(a+i\,\Delta x)\,\Delta x,\qquad \Delta x=\frac{b-a}{n}.$

   所以要做的就是把三样东西对上号：小区间宽度 $\Delta x$、取样点 $a+i\,\Delta x$，以及函数法则 $f$。

2. 2

   先读出宽度，顺带得到区间长度。 挂在平方外面的因子是 $\dfrac{2}{n}$，所以

   $\Delta x=\frac{2}{n}=\frac{b-a}{n}\quad\Longrightarrow\quad b-a=2.$

3. 3

   读出左端点。 取样点是 $3+\dfrac{2i}{n}=3+i\,\Delta x$。把它和 $a+i\,\Delta x$ 对照，得 $a=3$，进而 $b=a+2=5$。（那个没有乘 $i$ 的常数，永远就是左端点。）

4. 4

   读出函数。 对取样点做的事情是把它平方，所以 $f(x)=x^{2}$。把三块拼起来，

   $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(3+\frac{2i}{n}\right)^{2}\frac{2}{n}=\int_{3}^{5}x^{2}\,dx.$

5. 5

   算出这个定积分。

   $\int_{3}^{5}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{3}^{5}=\frac{125}{3}-\frac{27}{3}=\frac{98}{3}\approx 32.667.$

   检验：取 $n=10^{6}$ 直接把和加出来得到 $32.66668$，与 $\tfrac{98}{3}$ 吻合到小数点后五位。另外要说明，答案的这种写法并非唯一——把同一个极限读成 $a=0$、$b=2$、$f(x)=(3+x)^{2}$，得到的是同一个数。