解微分方程 y'' + y = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   代入指数型试探解 $y=e^{rx}$。 此时 $y''=r^2e^{rx}$，方程变成

   $r^2e^{rx}+e^{rx}=e^{rx}\left(r^2+1\right)=0$

2. 2

   读出特征方程。 因为对任意实数 $x$ 都有 $e^{rx}\neq 0$：

   $r^2+1=0\quad\Longrightarrow\quad r^2=-1\quad\Longrightarrow\quad r=\pm i$

3. 3

   写出实数形式的通解。 在模板 $e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)$ 中取 $\alpha=0$、$\beta=1$：

   $y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x$

   对二阶方程来说，两个任意常数正好合适——它们由两个初始条件（例如 $y(0)$ 和 $y'(0)$）确定。

4. 4

   把两个基础解都验一遍。 取 $y=\cos x$：$y''=-\cos x$，于是 $y''+y=0$ $\checkmark$。取 $y=\sin x$：$y''=-\sin x$，同样是 $0$ $\checkmark$。

5. 5

   和 $y''+4y=0$ 比一比。 那个方程给出 $r=\pm 2i$，解由 $\cos 2x,\sin 2x$ 组成：$y$ 前面的系数是角频率的平方，所以 $y''+\omega^2y=0$ 的振动角频率是 $\omega$。这里 $\omega=1$，周期是 $2\pi$。