求 2ˣ 乘以 (2ˣ + 4)⁵ 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先找一个「内层函数的导数正好摆在外面」的结构。 括号 $2^x+4$ 被乘方了，而它的导数是

   $\frac{d}{dx}\left(2^{x}+4\right)=2^{x}\ln 2,$

   这正是外面那个因子 $2^x$ 再差一个常数 $\ln 2$。这就是换元题的典型标志。

2. 2

   做换元。 令

   $u=2^{x}+4\quad\Longrightarrow\quad du=2^{x}\ln 2\,dx\quad\Longrightarrow\quad 2^{x}\,dx=\frac{du}{\ln 2}.$

   这里的底数是 $2$ 而不是 $e$，所以 $\ln 2$ 必须一路带着——把它丢掉是这道积分里最常见的错误。

3. 3

   把整个积分全部改写成 u 的形式。

   $\int 2^{x}\left(2^{x}+4\right)^{5}dx=\int u^{5}\,\frac{du}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\int u^{5}\,du.$

4. 4

   用幂函数积分公式，再换回去。

   $\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{u^{6}}{6}+C=\frac{\left(2^{x}+4\right)^{6}}{6\ln 2}+C.$

5. 5

   求导验证。 由链式法则，

   $\frac{d}{dx}\frac{\left(2^{x}+4\right)^{6}}{6\ln 2}=\frac{6\left(2^{x}+4\right)^{5}\cdot 2^{x}\ln 2}{6\ln 2}=2^{x}\left(2^{x}+4\right)^{5},$

   正是原来的被积函数，所以这个原函数是对的。