计算 θ 从 π/4 到 π/2、ρ 从 2sinθ 到 2 的二重积分，被积函数为 ρ² 乘 sinθ，先对 ρ 积再对 θ 积。

Step-by-step solution

1. 1

   先看清区域的几何意义。 极坐标下的面积元是 $\rho\,d\rho\,d\theta$，所以 $\rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta = (\rho\sin\theta)\,\rho\,d\rho\,d\theta = y\,dA$。区域夹在圆 $\rho=2\sin\theta$（也就是 $x^2+(y-1)^2=1$）与圆 $\rho=2$ 之间，$\theta$ 从 $\tfrac{\pi}{4}$ 到 $\tfrac{\pi}{2}$，因此这个积分就是该区域对 $x$ 轴的一次矩。

2. 2

   先对 rho 积分，把 sin(theta) 当作常数。 $\int_{2\sin\theta}^{2}\rho^2\,d\rho = \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_{2\sin\theta}^{2} = \frac{8}{3}-\frac{8\sin^3\theta}{3}.$ 再乘上 $\sin\theta$，得到 $\tfrac83\left(\sin\theta-\sin^4\theta\right)$。

3. 3

   算正弦这一项。 $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \left[-\cos\theta\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = 0+\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2}{2}.$

4. 4

   把 sin^4(theta) 降幂成余弦的线性组合。 由 $\sin^2\theta = \tfrac{1-\cos2\theta}{2}$ 和 $\cos^2 2\theta = \tfrac{1+\cos4\theta}{2}$ 可得 $\sin^4\theta = \frac{3-4\cos2\theta+\cos4\theta}{8}.$ 奇次幂可以用换元处理，但偶次幂必须降幂。

5. 5

   对降幂后的式子积分。 $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^4\theta\,d\theta = \frac18\left[3\theta-2\sin2\theta+\frac{\sin4\theta}{4}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \frac18\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{3\pi}{4}-2\right)\right) = \frac{3\pi}{32}+\frac14.$

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   合成最终答案。 $\frac83\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{3\pi}{32}-\frac14\right) = \frac{4\sqrt2}{3}-\frac{\pi}{4}-\frac23 \approx 0.433553.$ 直接对 $\tfrac83(\sin\theta-\sin^4\theta)$ 在 $\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]$ 上做数值积分，得到 $0.4335532531$，与上面的结果一致。