求 (x − 9)/(√x − 3) 当 x 趋于 9 时的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先看形式。 在 $x=9$ 处分子为 $0$，分母为 $3-3=0$，所以这是 $\frac{0}{0}$ 型。

2. 2

   把 $x$ 看成一个平方。 当 $x>0$ 时有 $x=\left(\sqrt{x}\right)^2$，所以 $x-9=\left(\sqrt{x}\right)^2-3^2$，这是以 $\sqrt{x}$ 为变量的平方差。

3. 3

   分解分子。 $x-9=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)$。第一个因式恰好就是分母，所以根本不必去乘共轭式。

4. 4

   约分。 当 $x\neq 9$ 时这个商化为 $\sqrt{x}+3$，而它在 $x\ge 0$ 上是连续的。

5. 5

   代入求值。 $\sqrt{9}+3=3+3=6$。

6. 6

   顺带说说那条捷径。 乘以共轭式 $\sqrt{x}+3$ 也能化到同样的结果；认出平方差只是省下了一行运算而已。