求 e^(i·ω·x) 关于 ω 从负无穷到正无穷的积分，其中 x 是参数。

Step-by-step solution

1. 1

   先在对称的有限区间上积分。 $(-\infty,\infty)$ 上的反常积分是通过有限区间的极限来定义的，所以先算 $\int_{-A}^{A}$。当 $x\ne 0$ 时，关于 $\omega$ 的原函数是 $\dfrac{1}{ix}e^{i\omega x}$，于是

   $\int_{-A}^{A}e^{i\omega x}\,d\omega=\frac{1}{ix}\left(e^{iAx}-e^{-iAx}\right)$

2. 2

   把指数化成正弦。 用 $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$，取 $\theta=Ax$：

   $\int_{-A}^{A}e^{i\omega x}\,d\omega=\frac{2i\sin(Ax)}{ix}=\frac{2\sin(Ax)}{x}$

   这就是 $2A\,\operatorname{sinc}(Ax)$——在 $x=0$ 处高为 $2A$ 的一个尖峰，而它的总面积保持不变。

3. 3

   逐点取 $A\to\infty$，看看它是怎么失效的。 对固定的 $x\ne 0$，因子 $\sin(Ax)$ 一直在 $-1$ 和 $1$ 之间振荡，永远定不下来，所以 $\dfrac{2\sin(Ax)}{x}$ 没有极限。当 $x=0$ 时被积函数恒为 $1$，$\int_{-A}^{A}1\,d\omega=2A\to\infty$。两种情形下这个积分在普通（黎曼或勒贝格）意义下都发散。

4. 4

   改成用光滑函数去检验这一族函数。 尽管 $\dfrac{2\sin(Ax)}{x}$ 没有逐点极限，它的面积却是常数：

   $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(Ax)}{x}\,dx=2\pi\qquad\text{对每个 }A>0$

   而且随着 $A$ 增大，质量越来越紧地集中到 $x=0$ 附近（远离原点的振荡在与任意光滑试验函数 $\varphi$ 加权后互相抵消）。这恰好就是一个 delta 列的定义性行为：

   $\lim_{A\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(Ax)}{x}\varphi(x)\,dx=2\pi\varphi(0)$

5. 5

   把两个答案都写出来，并说明各自适用于哪里。 作为普通的反常积分，这个表达式不收敛。作为广义函数——也就是傅里叶分析中采用的意义，此时它是常值函数 $1$ 的逆变换——则有

   $\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}\,d\omega=2\pi\,\delta(x)$

   其中的 $2\pi$ 与约定有关：若采用对称的 $\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ 变换约定，这个恒等式仍写作 $\int e^{i\omega x}\,d\omega=2\pi\delta(x)$，只是变换对的两侧各带一个 $\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$。