计算 1/(x + √(x² − 1))² 关于 x 从 1 到 ∞ 的反常积分，并说明为什么下限不能取 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把定义域界定清楚，再谈积分。 当 $0\le x<1$ 时被开方式 $x^2-1$ 是负的，所以 $\sqrt{x^2-1}$ 不是实数，被积函数在那一段根本没有定义。使它真正成为一个实积分的最大区间从 $x=1$ 开始——把下限写成 $0$ 是题面本身写错了，而不是收敛性的问题。

2. 2

   选一个能把根号线性化的换元。 对 $x\ge 1$，令

   $x=\cosh t,\qquad t\ge 0$

   于是 $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\cosh^2t-1}=\sinh t$（当 $t\ge0$ 时它非负），并且 $dx=\sinh t\,dt$。

3. 3

   化简那个括号——这正是选 cosh 的理由。

   $x+\sqrt{x^2-1}=\cosh t+\sinh t=e^{t}$

   所以括号的平方就是 $e^{2t}$。积分限也随之变换：$x=1\Rightarrow t=0$，$x\to\infty\Rightarrow t\to\infty$。

4. 4

   把积分重写一遍。

   $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^{2}}=\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh t}{e^{2t}}\,dt=\int_0^\infty e^{-2t}\sinh t\,dt$

5. 5

   把双曲正弦展开成指数。 由 $\sinh t=\tfrac{e^t-e^{-t}}{2}$，

   $e^{-2t}\sinh t=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2}$

   这是两个衰减指数之差——在 $[0,\infty)$ 上都是可积的。

6. 6

   积分求值。 因为 $\int_0^\infty e^{-kt}dt=\tfrac1k$，

   $\frac12\left(\int_0^\infty e^{-t}dt-\int_0^\infty e^{-3t}dt\right)=\frac12\left(1-\frac13\right)=\frac12\cdot\frac23=\frac13$

   对 $\int_0^{40}e^{-2t}\sinh t\,dt$ 做数值积分得到 $0.3333333333$，确认了精确值 $\tfrac13$。