求 1.62482e^(−x/12.72238) + 2.85422 对 x 从 x = 0 到 x = 300 的定积分。

Step-by-step solution

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   先把积分拆成两块能分开处理的部分。 被积函数是一个衰减指数加一个常数，而积分是线性的，所以

   $\int_0^{300}\!\!\left(a\,e^{-x/k}+c\right)dx=a\int_0^{300}\!e^{-x/k}dx+c\int_0^{300}\!dx$

   其中 $a=1.62482$，$k=12.72238$，$c=2.85422$。

2. 2

   求指数部分的原函数。 因为 $\dfrac{d}{dx}e^{-x/k}=-\dfrac{1}{k}e^{-x/k}$，反过来求原函数时要补上一个 $-k$ 的因子：

   $\int a\,e^{-x/k}dx=-ak\,e^{-x/k}+C,\qquad \int c\,dx=cx+C$

   于是 $F(x)=-ak\,e^{-x/k}+cx$。

3. 3

   代入上下限并化简。

   $F(300)-F(0)=ak\left(1-e^{-300/k}\right)+300c$

   下限处的 $-e^{-x/k}$ 变成了 $+1$，这正是衰减项最终贡献一个正的 $ak$ 的原因。

4. 4

   把数字仔细算出来。 衰减项的系数是

   $ak=1.62482\times12.72238=20.6715774716$

   常数部分是

   $300c=300\times2.85422=856.266$

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   说明指数尾巴可以忽略不计。 $\dfrac{300}{12.72238}=23.5805$，而 $e^{-23.5805}=5.743\times10^{-11}$。于是 $1-e^{-300/k}=0.99999999994$，它只在第九位小数上动了 $ak$ 一下——这个积分实际上已经达到了无穷区间上的极限值 $ak+300c$。

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   相加得出结果，顺带纠正一个常见失误。

   $20.6715774716+856.266=876.9375774716$

   有时会看到 $876.93843$ 这个数，它来自把 $1.62482\times12.72238$ 错算成 $20.6724315116$；真正的乘积是 $20.6715774716$。

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   用数值积分验证。 在 $[0,300]$ 上取三百万个子区间做梯形求和，得到 $876.9375775$，与闭式结果在小数点后七位上完全一致 ✓。