对 y = 10x³ − x² + 4x − 15 求导，然后解方程 y′ = 0。

Step-by-step solution

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   逐项套用幂法则。 对多项式来说，每一项都可以单独处理，用 $\left(x^{n}\right)^{\prime}=nx^{n-1}$，再加上常数求导得零这一事实：$\left(10x^{3}\right)^{\prime}=30x^{2}$、$\left(-x^{2}\right)^{\prime}=-2x$、$(4x)^{\prime}=4$、$(-15)^{\prime}=0$。

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   写出导数。 把四块加起来， $y^{\prime}=30x^{2}-2x+4 .$

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   令导数为零并化简。 解 $y^{\prime}=0$ 就是解 $30x^{2}-2x+4=0$。三个系数都是偶数，两边同除以 $2$： $15x^{2}-x+2=0 .$

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   别硬去凑根，先看判别式。 取 $A=15$、$B=-1$、$C=2$， $D=B^{2}-4AC=(-1)^{2}-4(15)(2)=1-120=-119<0 .$ 判别式为负，说明这个二次方程没有实数根。

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   从几何上解释这个结果。 因为 $y^{\prime}=30x^{2}-2x+4$ 恒不为零，而且首项系数为正，所以对每一个实数 $x$ 都有 $y^{\prime}>0$。于是这条三次曲线严格单调递增，处处没有水平切线，也没有任何局部极值。