设 a > 0，把 ln(x + √(a² + x²)) 用反双曲正弦表示。

Step-by-step solution

1. 1

   先回忆 arsinh 的对数表达式。 由 $\sinh t=u$ 解出 $t$，得

   $\operatorname{arsinh}(u)=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$

   注意根号下面是 $+1$：标准形里没有可调的参数，所以要先把题给的表达式缩放成这个样子。这个式子常常以 $\dfrac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$ 的原函数的身份出现，这也是这个改写值得记住的原因。

2. 2

   把变量按 $a$ 缩放。 把 $u=\dfrac{x}{a}$ 代入上面的恒等式：

   $\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)=\ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)$

3. 3

   化简根号。 通分到 $a^{2}$，并利用 $a>0$ 从而 $\sqrt{a^{2}}=a$：

   $\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}=\sqrt{\frac{x^{2}+a^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}$

   这里 $a>0$ 这个前提是不可缺的；若 $a<0$，就会冒出一个绝对值，最后那个常数也会跟着变。

4. 4

   把两项合到同一个分母 $a$ 上。

   $\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)=\ln\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)-\ln a$

   这一步用的是 $\ln\frac MN=\ln M-\ln N$。

5. 5

   移项，正面回答题目。

   $\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)=\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)+\ln a$

   两个表达式只差一个加性常数 $\ln a$，这正是不同的积分表里它们都能充当 $\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$ 的原函数的原因。

6. 6

   数值验证。 取 $a=2.7$、$x=1.3$：左边是 $\ln(1.3+\sqrt{7.29+1.69})=1.4578391$，而 $\operatorname{arsinh}(0.4814815)+\ln 2.7=0.4645873+0.9932518=1.4578391$ ✓。