求积分 ∫dx / ((x − 1)√(−x² + 2x + 3))。

Step-by-step solution

1. 1

   先把根号里的式子配方。 被开方式为

   $-x^{2}+2x+3=4-(x-1)^{2}$

   所以只有当 $|x-1|<2$，即 $-1<x<3$ 且 $x\neq 1$ 时积分才是实数。$(x-1)$ 同时出现在根号外和根号内，正是选对代换的线索。

2. 2

   用倒代换。 对形如 $\dfrac{1}{(x-a)\sqrt{\text{二次式}}}$ 的被积函数，令 $x-a=\dfrac1t$。这里

   $x-1=\frac1t\quad\Longrightarrow\quad dx=-\frac{dt}{t^{2}}$

   （注意那个负号：$1/t$ 求导得 $-1/t^{2}$。漏掉它，整个答案的符号就反了。）

3. 3

   改写根式。 由 $(x-1)^{2}=\tfrac{1}{t^{2}}$，

   $\sqrt{4-(x-1)^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{t^{2}}}=\frac{\sqrt{4t^{2}-1}}{|t|}$

4. 4

   把换元后的积分拼起来。

   $I=\int\frac{-\dfrac{dt}{t^{2}}}{\dfrac1t\cdot\dfrac{\sqrt{4t^{2}-1}}{|t|}}=-\int\frac{|t|}{t}\cdot\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}=-\operatorname{sgn}(t)\int\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}$

   那些碍事的 $t^{2}$ 因子彻底约掉了——这正是这个代换的意义所在。

5. 5

   积出标准形式再回代。 因为 $\displaystyle\int\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}=\frac12\ln\left|2t+\sqrt{4t^{2}-1}\right|+C$，且 $2t+\sqrt{4t^{2}-1}=\dfrac{2\operatorname{sgn}(x-1)+\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{|x-1|}$，那个符号因子会与对数合并，最终得到统一的一个式子

   $\boxed{I=-\frac12\ln\left|\frac{2+\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{x-1}\right|+C}$

   它在 $-1<x<1$ 与 $1<x<3$ 两段上都成立。

6. 6

   求导验证并做数值检验。 对答案求导恰好得回 $\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{-x^{2}+2x+3}}$。数值上，$\displaystyle\int_{1.5}^{2.5}\frac{dx}{(x-1)\sqrt{-x^{2}+2x+3}}=0.634036$，而闭式给出 $F(2.5)-F(1.5)=0.634036$ ✓；在另一段上，$\displaystyle\int_{0.2}^{0.8}=-0.713212$，公式同样给出 $-0.713212$ ✓。

7. 7

   留意两个符号陷阱。 因为 $(2+\sqrt{\cdot})(2-\sqrt{\cdot})=(x-1)^{2}$，另一种写法 $\tfrac12\ln\left|\tfrac{2-\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{x-1}\right|$ 只差一个常数，同样正确；但若去掉最前面的负号，在两段上都是错的，而把 $dx=-dt/t^{2}$ 写成 $+dt/t^{2}$，整个原函数都会变号。