求 h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³ 的导数，并把结果写成因式分解的形式。

Step-by-step solution

1. 1

   先摆好乘积法则。 这个函数是两个复合幂函数的乘积，所以记

   $u = (2x+1)^5, \qquad v = \left(x^2-1\right)^3, \qquad h' = u'v + uv'$

   若是先把 $h$ 展开，会得到一个十一次多项式；用乘积法则则能全程保持因式形式，而这正是最后能化简的前提。

2. 2

   用链式法则分别对两个因式求导。 外层导数乘内层导数：

   $u' = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4$

   $v' = 3\left(x^2-1\right)^2 \cdot 2x = 6x\left(x^2-1\right)^2$

   内层导数 $2$ 和 $2x$，正是链式法则最容易出岔子的地方。

3. 3

   把两项拼起来。

   $h'(x) = 10(2x+1)^4\left(x^2-1\right)^3 + 6x(2x+1)^5\left(x^2-1\right)^2$

   每一项都只是把 $h$ 的某个因式降了一次幂，所以必定存在公因式。

4. 4

   把每个括号的最低次幂提出来。 两项都含有 $(2x+1)^4$ 和 $\left(x^2-1\right)^2$：

   $h'(x) = (2x+1)^4\left(x^2-1\right)^2\Big[10\left(x^2-1\right) + 6x(2x+1)\Big]$

5. 5

   化简中括号，再把数字因子提出来。

   $10x^2 - 10 + 12x^2 + 6x = 22x^2 + 6x - 10 = 2\left(11x^2 + 3x - 5\right)$

   $h'(x) = 2(2x+1)^4\left(x^2-1\right)^2\left(11x^2+3x-5\right)$

   最后这个二次式的判别式是 $9 + 220 = 229$，不是完全平方数，所以在有理数范围内没法再分解了。

6. 6

   数值验证一遍，顺带读出驻点。 在 $x = 0$ 处用中心差分得 $h'(0) \approx -10.000$，与 $2(1)(1)(-5) = -10$ 吻合；在 $x = 0.3,\ 1.7,\ -2.1$ 处同样检验，六位有效数字都对得上。$h'$ 的零点是 $x = -\tfrac12$、$x = \pm 1$（来自那两个重因式，它们同时也是 $h$ 的零点），以及 $x = \frac{-3 \pm \sqrt{229}}{22}$。