保护区里的兔子数量最初为 800 只，增长率与当前数量成正比，增长常数为每年 0.12。求解这个微分方程，算出 5 年后的数量，并求倍增时间。

Step-by-step solution

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   分离变量。 方程 $\dfrac{dP}{dt}=0.12P$ 是可分离的——把 $P$ 收到一边，把 $t$ 收到另一边：

   $\frac{dP}{P}=0.12\,dt$

2. 2

   两边积分，再解出 P。

   $\ln|P|=0.12t+C\quad\Longrightarrow\quad P(t)=Ae^{0.12t}$

   代入 $P(0)=800$ 得 $A=800$，所以

   $P(t)=800e^{0.12t}$

3. 3

   代入 t = 5。

   $P(5)=800e^{0.12(5)}=800e^{0.6}=800(1.82212)=1457.7$

   兔子只能按整只算，四舍五入得

   $P(5)\approx 1458\ \text{只}$

4. 4

   写出「翻一番」的条件。 翻一番就是 $P(t)=2P(0)$，即

   $800e^{0.12t}=1600\quad\Longrightarrow\quad e^{0.12t}=2$

5. 5

   解出倍增时间。

   $0.12t=\ln 2\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln 2}{0.12}=\frac{0.69315}{0.12}=5.776\ \text{年}$

   $\boxed{P(5)\approx 1458\ \text{只};\qquad t_{\text{倍增}}\approx 5.78\ \text{年}}$

6. 6

   注意倍增时间与初始数量无关。 在 $\tfrac{P(t)}{P(0)}=e^{kt}$ 里 $800$ 被约掉了，所以任何以 $k=0.12$ 指数增长的种群都是每 $5.78$ 年翻一番。再核对一次：$5.776$ 年后模型给出 $800e^{0.12(5.776)}=800e^{0.6931}=1600$ ✓；而 $5$ 年后的比值 $\tfrac{1458}{800}=1.822$ 略小于 $2$，与「倍增时间略多于 $5$ 年」相吻合。