求 (1 − u²) 除以 (a − bu²) 的 3/2 次幂，关于 u 的不定积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先猜一个原函数，再求导把关键公式凑出来。 与其做三角换元，不如用乘积法则对 $\dfrac{u}{\sqrt{a-bu^2}}$ 求导：

   $\frac{d}{du}\left[u(a-bu^2)^{-1/2}\right]=\frac{1}{\sqrt{a-bu^2}}+\frac{bu^2}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{a}{(a-bu^2)^{3/2}}$

   于是

   $\int\frac{du}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{u}{a\sqrt{a-bu^2}}$

2. 2

   把分子拆开。

   $\int\frac{1-u^2}{(a-bu^2)^{3/2}}\,du=\int\frac{du}{(a-bu^2)^{3/2}}-\int\frac{u^2\,du}{(a-bu^2)^{3/2}}$

   第一块已经解决，只剩带 $u^2$ 的那一块要处理。

3. 3

   把 $u^2$ 改写成分母本身的表达式。 利用恒等式

   $u^2=\frac{a-(a-bu^2)}{b}$

   可以写成

   $\frac{u^2}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{a}{b(a-bu^2)^{3/2}}-\frac{1}{b\sqrt{a-bu^2}}$

   这就是全部窍门所在：它把一个难缠的分子变成了两个我们已经认识的积分，从而完全绕开了三角换元。

4. 4

   把各部分拼起来。 用第一步的结果以及 $\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{a-bu^2}}=\frac{1}{\sqrt b}\arcsin\!\left(u\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)$：

   $I=\frac{u}{a\sqrt{a-bu^2}}-\frac{u}{b\sqrt{a-bu^2}}+\frac{1}{b\sqrt b}\arcsin\!\left(u\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)+C$

   把前两项通分到 $ab$ 上，系数就是 $\dfrac{b-a}{ab}$。

5. 5

   对答案求导来验证。 取具体值 $a=2$、$b=0.7$。在 $u=0.1$ 处对上面的封闭表达式作数值求导，得 $0.3518635229$，而被积函数 $(1-u^2)/(a-bu^2)^{3/2}$ 在 $u=0.1$ 处的值是 $0.3518635229$ ✓。在 $u=0.5$ 处两者都是 $0.3042054288$ ✓。原函数正确。