解微分方程 y² + a y' = b，其中 a 和 b 都是常数。

Step-by-step solution

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   先把导数孤立出来，并检查可分离性。 整理得

   $a\frac{dy}{dx}=b-y^{2}\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{dy}{dx}=\frac{b-y^{2}}{a}$

   右端只依赖 $y$，所以方程是可分离的——而且它还是自治的，也就是 $x$ 从不显式出现。它对 $y$ 不是线性的（$y^{2}$ 把这条路堵住了），所以积分因子不是这里该用的工具。

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   分离变量。 两边除以 $b-y^{2}$，再乘上 $dx$：

   $\frac{dy}{b-y^{2}}=\frac{dx}{a}$

   这一步假定了 $y^{2}\neq b$。被排除掉的值恰好就是平衡解 $y=\pm\sqrt{b}$（在 $b>0$ 时）：那里 $dy/dx=0$，$y$ 永远保持常数——它们是真正的解，不留意就会被分离变量这一步丢掉。

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   左边用部分分式积分（$b>0$ 的情形）。 记 $k=\sqrt{b}$，

   $\frac{1}{k^{2}-y^{2}}=\frac{1}{2k}\left(\frac{1}{k-y}+\frac{1}{k+y}\right)\Longrightarrow\int\frac{dy}{k^{2}-y^{2}}=\frac{1}{2k}\ln\left|\frac{k+y}{k-y}\right|$

   于是，配上右边积出的 $x/a+C$：

   $\frac{1}{2\sqrt{b}}\ln\left|\frac{\sqrt{b}+y}{\sqrt{b}-y}\right|=\frac{x}{a}+C$

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   把 $y$ 显式解出来。 两边乘以 $2\sqrt{b}$ 再取指数，得到 $\dfrac{\sqrt{b}+y}{\sqrt{b}-y}=Ae^{2\sqrt{b}x/a}$，再把这个一次方程对 $y$ 解出来就是

   $y=\sqrt{b}\,\frac{Ae^{2\sqrt{b}x/a}-1}{Ae^{2\sqrt{b}x/a}+1}=\sqrt{b}\,\tanh\!\left(\frac{\sqrt{b}}{a}x+C\right)$

   第二个形式来自 $\tanh u=\dfrac{e^{2u}-1}{e^{2u}+1}$——这种指数之比的形状本来就是双曲正切的伪装。

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   代回验证。 取 $a=1.7$、$b=2.3$、$C=0.4$，在 $x=0.2$、$0.9$ 和 $1.6$ 处数值检验 $y^{2}+ay'-b$，残差都在 $10^{-6}$ 以下 ✓。另外注意 $x\to\pm\infty$ 时 $y\to\pm\sqrt{b}$：解被夹在两个平衡解之间，这正是 $\tanh$ 所刻画的饱和行为。

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   再处理 $b$ 取其它符号的情形。 若 $b<0$，令 $b=-c^{2}$；此时 $a\,y'=-(c^{2}+y^{2})$ 积出来是一个反正切，给出 $y=c\tan\!\left(-\dfrac{c}{a}x+C\right)$——数值上验证到 $10^{-5}$ ✓，而且它会在有限的 $x$ 处发散，而不是趋于饱和。若 $b=0$，则 $a\,y'=-y^{2}$ 分离后给出 $y=\dfrac{a}{x+C}$。