求函数 f(x, y) = x²y + xe^(−xy) 的梯度，以及沿向量 (0, −1) 方向的方向导数。

Step-by-step solution

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   先回忆公式，并检查方向向量。 对单位向量 $\mathbf v$，方向导数就是点积 $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot \mathbf v$。这里 $\|(0,-1)\|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1$，所以 $\mathbf v$ 本身已是单位向量，不需要再单位化。如果它不是单位向量，就得先除以它的长度。

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   对 $x$ 求偏导。 $x^2y$ 一项给出 $2xy$。$xe^{-xy}$ 一项要用乘积法则配合链式法则，因为 $\partial_x e^{-xy}=-y e^{-xy}$：

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(xe^{-xy}\right)=e^{-xy}-xy\,e^{-xy}.$

   所以

   $f_x=2xy+(1-xy)e^{-xy}.$

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   对 $y$ 求偏导。 这时 $x$ 当常数看，$x^2y$ 给出 $x^2$；又 $\partial_y e^{-xy}=-x e^{-xy}$，所以第二项是 $-x^2 e^{-xy}$：

   $f_y=x^{2}-x^{2}e^{-xy}=x^{2}\left(1-e^{-xy}\right).$

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   把梯度拼起来。

   $\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}2xy+(1-xy)e^{-xy}\\[2pt] x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)\end{pmatrix}.$

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   与方向向量作点积。 因为 $\mathbf v=(0,-1)$ 把第一个分量抹掉了，只剩下对 $y$ 的偏导，并且带一个负号：

   $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot(0,-1)=-f_y=-x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)=x^{2}\left(e^{-xy}-1\right).$

   这与几何直觉完全一致：沿 $-y$ 方向移动就是沿 $y$ 反向走，变化率自然是 $f_y$ 的相反数。

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   做一次数值抽查。 在 $(x,y)=(1.3,0.7)$ 处，用中心差分算得 $f_x\approx 1.856227$、$f_y\approx 1.009734$，与公式吻合，且 $D_{\mathbf v}f\approx-1.009734$。在 $(-2,1.5)$ 处公式给出 $D_{\mathbf v}f\approx 76.342$，同样与数值导数一致。