计算 (4 − y) 在由直线 x = 4、y = −2 与 x − y = 0 围成的区域 D 上的二重积分。

Step-by-step solution

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   先把三个顶点求出来。 把边界直线两两相交：$x=4$ 与 $y=-2$ 交于 $(4,-2)$；$x=4$ 与 $y=x$ 交于 $(4,4)$；$y=-2$ 与 $y=x$ 交于 $(-2,-2)$。所以 $D$ 是以 $(-2,-2)$、$(4,-2)$、$(4,4)$ 为顶点的三角形。

2. 2

   选定积分次序。 竖着扫最省事：对 $-2$ 到 $4$ 之间的每一个 $x$，竖条都从下边界 $y=-2$ 一直到斜边 $y=x$。于是得到 $\displaystyle\int_{-2}^{4}\!\!\int_{-2}^{x}(4-y)\,dy\,dx$。注意全程都有 $x\ge -2$，所以上限从来不会低于下限。

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   先做对 $y$ 的内层积分。 $\displaystyle\int_{-2}^{x}(4-y)\,dy=\left[4y-\frac{y^2}{2}\right]_{-2}^{x}=\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)-\left(-8-2\right)=4x-\frac{x^2}{2}+10$。

4. 4

   再做对 $x$ 的外层积分。 $\displaystyle\int_{-2}^{4}\left(4x-\frac{x^2}{2}+10\right)dx=\left[2x^2-\frac{x^3}{6}+10x\right]_{-2}^{4}$。

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   代入两个端点。 在 $x=4$ 处：$32-\frac{64}{6}+40=72-\frac{32}{3}=\frac{184}{3}$；在 $x=-2$ 处：$8+\frac{8}{6}-20=-12+\frac43=-\frac{32}{3}$。两者之差为 $\frac{184}{3}+\frac{32}{3}=\frac{216}{3}=72$。

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   用形心的捷径交叉验证。 这个三角形的面积是 $\tfrac12\cdot 6\cdot 6=18$，形心的纵坐标 $\bar y=\frac{-2-2+4}{3}=0$，所以 $\iint_D(4-y)\,dA=4\cdot 18-18\bar y=72-0=72$。对累次积分做辛普森数值计算，同样返回 $72.0$。