求 sinⁿ(x) 从 0 到 π/2 的积分，其中 n 是非负整数。

Step-by-step solution

1. 1

   拆出一个正弦，然后分部积分。 把 $\sin^{n}x=\sin^{n-1}x\cdot\sin x$，并取

   $u=\sin^{n-1}x,\qquad dv=\sin x\,dx\ \Longrightarrow\ du=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx,\quad v=-\cos x$

   边界项 $\left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_{0}^{\pi/2}$ 在两端都为零——上限处 $\cos\tfrac\pi2=0$，下限处 $\sin 0=0$——这正是选这一对积分限的原因。

2. 2

   把 $\cos^{2}$ 换回 $\sin$。 剩下的部分是

   $I_{n}=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\left(1-\sin^{2}x\right)dx$

   于是

   $I_{n}=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$

   原来的积分又在右边冒了出来，这就是提示：应当把它当未知数解出来，而不是再积一次。

3. 3

   解出 $I_{n}$，得到降幂递推公式。 两边同加 $(n-1)I_{n}$ 得 $nI_{n}=(n-1)I_{n-2}$，因此

   $I_{n}=\frac{n-1}{n}\,I_{n-2}$

   每用一次下标就降低二，所以递推最终会按 $n$ 的奇偶停在 $I_{0}$ 或 $I_{1}$ 上。

4. 4

   算出两个初始值。

   $I_{0}=\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2},\qquad I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi/2}=1$

   $\pi$ 只有这一个来源：它仅在偶数那条链里存活下来。

5. 5

   把递推展开，写成沃利斯公式。

   $I_{n}=\frac{(n-1)(n-3)\cdots 1}{n(n-2)\cdots 2}\cdot\frac{\pi}{2}\ \ (n\text{ 为偶数}),\qquad I_{n}=\frac{(n-1)(n-3)\cdots 2}{n(n-2)\cdots 3}\ \ (n\text{ 为奇数})$

   例如 $I_{4}=\tfrac34\cdot\tfrac12\cdot\tfrac\pi2=\tfrac{3\pi}{16}=0.58905$，$I_{5}=\tfrac45\cdot\tfrac23=\tfrac{8}{15}=0.53333$。

6. 6

   再给一个奇偶通用的统一公式。 借助伽马函数，

   $\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx=\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2\,\Gamma\!\left(\frac{n}{2}+1\right)}$

   对 $n=0$ 到 $7$ 逐个做数值积分，每一个都与它吻合到小数点后十位 ✓；而且这个式子还把结论推广到了非整数的 $n>-1$。