求 1/(1 + n² ln n) 从 n = 1 到无穷求和的一个上界。

Step-by-step solution

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   把 $n=1$ 单独拎出来。 因为 $\ln 1=0$，首项是 $\dfrac{1}{1+0}=1$——它是整个级数里最大的一项，而且任何带 $\ln n$ 的比较都罩不住它。所以先把它拆出来：

   $S=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1+n^{2}\ln n}$

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   丢掉那个 $+1$，把每一项放大。 当 $n\ge 2$ 时 $1+n^{2}\ln n>n^{2}\ln n>0$，分母变小分数就变大：

   $\frac{1}{1+n^{2}\ln n}<\frac{1}{n^{2}\ln n}$

   估界的论证里每一个不等号都必须朝同一个方向推；这里两处都是。

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   把 $\ln n$ 换成它在这个范围里的最小值。 当 $n\ge 2$ 时 $\ln n\ge\ln 2$，所以

   $\frac{1}{n^{2}\ln n}\le\frac{1}{n^{2}\ln 2}$

   正是这一步把一个带对数权重的难缠级数换成了普通的 $p$ 级数，代价是损失一些紧致度。

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   把用来比较的级数精确求和。 用巴塞尔问题的结果减去首项，

   $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}-1\approx 0.644934$

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   拼出这个上界。

   $S<1+\frac{1}{\ln 2}\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)=1+\frac{0.644934}{0.693147}=1.93044$

   级数收敛，而且它的和必定小于 $1.93044$。

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   评估这个界有多紧。 加满三百万项得到 $S\approx 1.4976$，所以这个界高估了大约 $0.43$。松弛主要来自第 3 步：用 $\ln 2$ 去替换 $\ln n$，对较大的 $n$ 来说太慷慨了，那里的 $\ln n$ 要大得多。若把求和在比如 $n=10$ 处切开，后半段改用 $\ln 10$，这个界会紧不少。