分别用左端点和右端点、取 6 个矩形，求函数 f(x) = 2x² − x − 1 的图像与 x 轴在区间 2 到 5 之间所围区域面积的两个近似值。

Step-by-step solution

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   先确认这块区域确实就是曲线下方的面积。 $f$ 的两个零点是 $x=1$ 与 $x=-\tfrac12$，都在区间左侧，而 $f(2)=5>0$。所以在 $[2,5]$ 上 $f$ 恒为正，矩形量出来的直接就是面积，不用担心符号翻转。

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   算出每个矩形的宽。 把区间等分成 $n$ 份，

   $\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{5-2}{6}=\frac12$

   所以分点是 $2,\ \tfrac52,\ 3,\ \tfrac72,\ 4,\ \tfrac92,\ 5$。

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   在每个分点上把 $f$ 算一次。 左和与右和用的是同一批七个函数值，一次算完能省一半工夫：

   $f(2)=5,\quad f\!\left(\tfrac52\right)=9,\quad f(3)=14,\quad f\!\left(\tfrac72\right)=20,\quad f(4)=27,\quad f\!\left(\tfrac92\right)=35,\quad f(5)=44$

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   用前六个值拼出左和。 左端点法取每个小条左边界处的函数值，所以要丢掉 $f(5)$：

   $L_6=\tfrac12\,(5+9+14+20+27+35)=\tfrac12(110)=55$

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   用后六个值拼出右和。 右端点法丢掉 $f(2)$，补上 $f(5)$：

   $R_6=\tfrac12\,(9+14+20+27+35+44)=\tfrac12(149)=74.5$

   注意 $R_6-L_6=\tfrac12\big(f(5)-f(2)\big)=\tfrac12(39)=19.5$——两个和之间的差别只在首尾两项上。

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   把这两个数理解成一个夹逼区间。 $f$ 在 $[2,5]$ 上递增，所以每个左矩形都在曲线下方，每个右矩形都超出曲线。因此真实面积满足 $55<A<74.5$。精确积分给出

   $A=\int_2^5\left(2x^2-x-1\right)dx=\frac{129}{2}=64.5$

   确实落在这两者之间。