计算 1/(x + y + 2) 在正方形 [0,1] × [0,1] 上的二重积分。

Step-by-step solution

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   先对 $x$ 积分，把 $y$ 当作常数。 被积函数是 $x$ 的一次式的倒数，所以 $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+y+2}=\Big[\ln(x+y+2)\Big]_{0}^{1}=\ln(y+3)-\ln(y+2).$ 在这个正方形上两个对数的真数都保持为正，因此不必加绝对值。这里积分次序无所谓——被积函数关于 $x$ 与 $y$ 是对称的。

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   写出剩下的一元积分。 $\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\frac{dx\,dy}{x+y+2}=\int_{0}^{1}\Big[\ln(y+3)-\ln(y+2)\Big]dy$ 每一项都是平移变量后的对数，用分部积分（或直接套标准公式）可得 $\int\ln(y+a)\,dy=(y+a)\ln(y+a)-(y+a)+C.$

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   分别算出这两个对数积分。 $\int_{0}^{1}\ln(y+3)\,dy=\Big[(y+3)\ln(y+3)-(y+3)\Big]_{0}^{1}=\left(4\ln 4-4\right)-\left(3\ln 3-3\right)=4\ln 4-3\ln 3-1,$ $\int_{0}^{1}\ln(y+2)\,dy=\Big[(y+2)\ln(y+2)-(y+2)\Big]_{0}^{1}=\left(3\ln 3-3\right)-\left(2\ln 2-2\right)=3\ln 3-2\ln 2-1.$ 数值上分别是 $1.2493405785$ 和 $0.9095425049$。

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   相减并合并对数。 $\left(4\ln 4-3\ln 3-1\right)-\left(3\ln 3-2\ln 2-1\right)=4\ln 4+2\ln 2-6\ln 3.$ 由于 $4\ln 4=4(2\ln 2)=8\ln 2$，上式变为 $8\ln 2+2\ln 2-6\ln 3=10\ln 2-6\ln 3.$

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   写成单个对数，并当心这里的代数变形。 合并得 $10\ln 2-6\ln 3=\ln\frac{2^{10}}{3^{6}}=\ln\frac{1024}{729}=0.3397980736.$ 有一种看着诱人却是错的改写：$2\ln 2+4\ln\tfrac43$，展开后是 $10\ln 2-4\ln 3=2.5370$——大了约七倍，因为它把分母上的两个因子 $3$ 弄丢了。

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   用粗略估计检查数量级。 在单位正方形上 $x+y+2$ 从 $2$ 变到 $4$，所以被积函数介于 $\tfrac14$ 与 $\tfrac12$ 之间，平均值也必然落在这个区间里。$0.3398$ 稳稳落在这条带子中；而 $4000\times 4000$ 的中点网格算出 $0.3397980732$，印证了这个闭式结果。