求 2k / 2ᵏ 从 k = 1 到无穷的和。

Step-by-step solution

1. 1

   先把常数提出来，认清这个级数的类型。 通项是一次因子乘以等比因子的级数叫差比数列（等差乘等比），只要公比的绝对值小于 1 就一定收敛：

   $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^{k}}=2\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac12\right)^{k}$

2. 2

   对等比级数求导，推出关键公式。 从 $\sum_{k\ge 0}x^{k}=\dfrac{1}{1-x}$ 出发，先求导再乘以 $x$：

   $\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}\ \Longrightarrow\ \sum_{k=1}^{\infty}kx^{k}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\qquad |x|<1$

   多出来的因子 $k$ 正是求导带来的；这类公式建议这样现场推导，而不是死记硬背。

3. 3

   代入 $x=\tfrac12$。

   $\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac12\right)^{k}=\frac{\frac12}{\left(1-\frac12\right)^{2}}=\frac{\frac12}{\frac14}=2$

   分母上的平方绝不能漏：写成 $1-\tfrac12$ 而不是 $\left(1-\tfrac12\right)^{2}$，结果就变成 1 了。

4. 4

   乘回常数 2。

   $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^{k}}=2\times 2=4$

5. 5

   逐项相加验证。 前几项是 $1,1,0.75,0.5,0.3125,\dots$，部分和依次为 $1,2,2.75,3.25,3.5625,\dots$，正朝着 $4$ 逼近；加满 200 项后在双精度下恰好得到 $4.0$ ✓。收敛之所以这么快，是因为等比因子最终会压过一次因子。