求 (1 + tan²y) 关于 y 的不定积分。

Step-by-step solution

1. 1

   不要逐项去积。 拆成 $\int 1\,dy+\int\tan^{2}y\,dy$ 虽然合法，却没有意义：第二块要写出初等原函数，还是得先用那个能一举解决整题的恒等式。

2. 2

   用勾股恒等式。 从 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 出发，各项同除以 $\cos^2\theta$ 得

   $\tan^{2}y+1=\sec^{2}y.$

   所以被积函数其实就是 $\sec^{2}y$。

3. 3

   认出这是我们早已熟悉的导数。 由于

   $\frac{d}{dy}\tan y=\sec^{2}y,$

   积分立刻可得：

   $\int\sec^{2}y\,dy=\tan y+C.$

4. 4

   写出带积分常数的结果。

   $\int\left(1+\tan^{2}y\right)dy=\tan y+C.$

5. 5

   求导验证。 对 $\tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}$ 用商的求导法则：

   $\frac{d}{dy}\tan y=\frac{\cos^{2}y+\sin^{2}y}{\cos^{2}y}=\frac{1}{\cos^{2}y}=\sec^{2}y=1+\tan^{2}y,$

   正好是原来的被积函数。注意这个原函数只在每个满足 $\cos y\neq 0$ 的区间上有效，也就是在相邻两个 $\tfrac{\pi}{2}$ 的奇数倍之间。