求当 x 趋于 π/4 时 (sin 4x + cos 2x)/(4x − π) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先判断是什么型。 在 $x=\frac{\pi}{4}$ 处，分子是 $\sin\pi+\cos\frac{\pi}{2}=0+0=0$，分母是 $\pi-\pi=0$，所以是 $\frac{0}{0}$ 型。

2. 2

   把变量平移到原点。 令 $x=\frac{\pi}{4}+t$，则 $t\to 0$。分母变成 $4t$，这是最便于相除的形式。

3. 3

   改写分子。 $\sin 4x=\sin(\pi+4t)=-\sin 4t$，$\cos 2x=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2t\right)=-\sin 2t$，所以分子是 $-\sin 4t-\sin 2t$。

4. 4

   分子分母同除以 $t$。 商等于 $\frac{-\frac{\sin 4t}{t}-\frac{\sin 2t}{t}}{4}$，再由基本极限 $\frac{\sin kt}{t}\to k$，分子趋于 $-4-2=-6$。

5. 5

   收尾。 极限是 $\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$。对分子分母各求一次导（洛必达法则）得 $\frac{4\cos 4x-2\sin 2x}{4}\to\frac{-4-2}{4}$，结果一样。

6. 6

   数值检验。 取 $x=\frac{\pi}{4}+10^{-7}$，原式算出 $-1.5000000$，印证了 $-\frac{3}{2}$。