解线性微分方程组 x′ = x − 2y，y′ = 2x + y。

Step-by-step solution

1. 1

   把方程组写成一个矩阵方程。 令 $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$，方程组就是 $\mathbf{X}' = A\mathbf{X}$，其中

   $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

   这一步之所以关键，是因为整个解随后就完全由 $A$ 的特征值决定 —— 不需要代入，也不需要消元。

2. 2

   求特征值。 特征方程是

   $\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)^2 + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (1-\lambda)^2 = -4$

   所以 $\lambda = 1 \pm 2i$。一对共轭复根 $\alpha \pm \beta i$ 总会给出 $e^{\alpha t}$ 乘上 $\beta t$ 的正弦与余弦：增长率 $\alpha = 1$，转动速率 $\beta = 2$。

3. 3

   求一个特征向量。 对 $\lambda = 1 + 2i$，$A - \lambda I$ 的第一行给出 $-2i\,v_1 - 2v_2 = 0$，所以 $v_2 = -i\,v_1$，即

   $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$

   只需要一个特征向量：共轭的那一个不带来任何新信息。

4. 4

   把复解拆成实部和虚部。 利用 $e^{(1+2i)t} = e^{t}(\cos 2t + i\sin 2t)$，

   $e^{(1+2i)t}\mathbf{v} = e^{t}\begin{pmatrix} \cos 2t + i\sin 2t \\ \sin 2t - i\cos 2t \end{pmatrix}$

   它的实部 $e^t(\cos 2t,\ \sin 2t)$ 和虚部 $e^t(\sin 2t,\ -\cos 2t)$ 是两个线性无关的实解。

5. 5

   把它们组合成通解。

   $x(t) = e^{t}\left(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t\right), \qquad y(t) = e^{t}\left(C_1\sin 2t - C_2\cos 2t\right)$

6. 6

   代入检验。 对 $x$ 求导得 $e^t(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t) + e^t(-2C_1\sin 2t + 2C_2\cos 2t)$，而 $x - 2y = e^t(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t) - 2e^t(C_1\sin 2t - C_2\cos 2t)$ —— 完全是同一个表达式。第二个方程验起来一样。又因为 $\alpha = 1 > 0$，每条轨线都从原点向外旋出。