求所有满足 f(x)/f′(x) = tan((k − 1)x) 的函数 f，其中 k 是不等于 1 的常数。

Step-by-step solution

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   把比值倒过来，让对数导数露出来。 两边取倒数，$\frac{f'(x)}{f(x)}=\cot\!\left((k-1)x\right).$ 左边恰好就是 $\dfrac{d}{dx}\ln|f(x)|$，这也是为什么这个变形值得放在一切操作之前 —— 它把一个关于 $f$ 与 $f'$ 的方程，变成了一个普通的求原函数问题。

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   两边积分。 $\ln|f(x)|=\int\cot\!\left((k-1)x\right)dx.$ 记 $m=k-1$（题设保证它不为零），换元 $u=mx$、$du=m\,dx$： $\int\cot(mx)\,dx=\frac{1}{m}\int\cot u\,du=\frac{1}{m}\ln|\sin u|+C=\frac{1}{m}\ln\left|\sin(mx)\right|+C.$ 这里用到的标准结论 $\int\cot u\,du=\ln|\sin u|$，本身就是对正弦函数做 $u$ 换元得到的。

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   取指数，把 $f$ 还原出来。 由 $\ln|f(x)|=\frac{1}{m}\ln|\sin(mx)|+C$ 得 $|f(x)|=e^{C}\left|\sin(mx)\right|^{1/m},$ 再把 $\pm e^{C}$ 合并成一个任意的非零常数，就有 $f(x)=C\left|\sin\!\left((k-1)x\right)\right|^{\frac{1}{k-1}}.$

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   求导验证。 取 $m=k-1$，在 $\sin mx>0$ 的区间上令 $f=\left(\sin mx\right)^{1/m}$，由链式法则 $f'=\frac{1}{m}\left(\sin mx\right)^{\frac1m-1}\cdot m\cos mx=\left(\sin mx\right)^{\frac1m-1}\cos mx,$ 于是 $\frac{f}{f'}=\frac{\left(\sin mx\right)^{1/m}}{\left(\sin mx\right)^{\frac1m-1}\cos mx}=\frac{\sin mx}{\cos mx}=\tan mx.$ 指数取 $1/m$ 的意义就在这里：只有这样，$\sin$ 的幂次才能相消到只剩一次。

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   再做一次数值检验。 取 $k=3$，此时 $m=2$、$f(x)=\sqrt{\sin 2x}$。在 $x=0.5$ 处用中心差分算得 $f'(0.5)=0.589003$、$f(0.5)=0.917317$，故 $f/f'=1.557408$；而 $\tan(2\times 0.5)=\tan 1=1.557408$。两者到小数第六位都一致。

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   交代定义域和被排除的情形。 只有在 $\sin\!\left((k-1)x\right)\neq 0$ 处这个解才有意义，因此 $x$ 要避开 $\pi/(k-1)$ 的整数倍；在每一段这样的区间上，$C$ 都可以独立选取。若 $k=1$，右边就是 $\tan 0=0$，逼得 $f\equiv 0$，这正是题目要假设 $k\neq 1$ 的原因。