求参数 a 的所有取值，使方程「cos 根号 (a 减 x 平方) 等于 1」恰好有 8 个根。

Step-by-step solution

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   把余弦方程翻译成一串「层」。 $\cos\theta=1$ 当且仅当 $\theta=2\pi k$（$k$ 为整数），而这里 $\theta=\sqrt{a-x^2}\ge0$，所以只可能取 $k=0,1,2,\dots$：

   $\sqrt{a-x^2}=2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x^2=a-4\pi^2k^2$

   方程于是变成了一族简单的二次方程，每个 $k$ 对应一个。

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   数一数每一层贡献几个根。 对固定的 $k$：

   • 若 $a-4\pi^2k^2>0$，有两个根，$x=\pm\sqrt{a-4\pi^2k^2}$；
   • 若 $a-4\pi^2k^2=0$，恰有一个根，$x=0$；
   • 若 $a-4\pi^2k^2<0$，一个也没有。

   不同的 $k$ 给出不同的 $|x|$，所以根不会被重复计数。

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   先把边界情形排除掉。 如果 $a=4\pi^2m^2$（$m$ 为整数），总根数是 $2m+1$，是个奇数。而 $8$ 是偶数，所以这样的 $a$ 都不行，每一层都必须是严格通过的。

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   要求恰好有四个可用的 $k$。 在没有等号的情形下，根的总数是 $2\times(\text{满足 }4\pi^2k^2<a\text{ 的 }k\text{ 的个数})$。令它等于 $8$，就要求 $k=0,1,2,3$ 全都满足严格不等式，而 $k=4$ 不满足：

   $4\pi^2\cdot3^2<a\le 4\pi^2\cdot4^2$

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   把闭端点去掉。 右端 $a=64\pi^2$ 正是前面排除掉的边界值之一（它给出 $2\cdot4+1=9$ 个根），必须舍去；而 $a=36\pi^2$ 给出 $2\cdot3+1=7$ 个根。所以答案是开区间

   $36\pi^2<a<64\pi^2$

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   在端点附近数一数验证。 取区间内部的 $a=50\pi^2$，$k=0,1,2,3$ 各层都通过而 $k=4$ 不通过，共 $2\cdot4=8$ 个根。而 $a=36\pi^2$ 时根数掉到 $7$，$a=64\pi^2$ 时跳到 $9$，可见两端的严格不等号缺一不可。