求 eˣ 在 x = 0 处的泰勒级数展开式。

Step-by-step solution

1. 1

   先把要往里填的模板写出来。 函数 $f$ 在 $x=0$ 处的泰勒级数是

   $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$

   所以全部工作就是算 $f(x)=e^{x}$ 在 $0$ 这一点的各阶导数。

2. 2

   反复求导。 指数函数是求导运算的不动点：

   $f'(x)=e^{x},\quad f''(x)=e^{x},\quad\ldots,\quad f^{(n)}(x)=e^{x}\ \text{对每个 }n\ge 0$

   展开式之所以这么干净，原因全在这里——既没有正负交替的符号规律，也没有越来越复杂的系数要盯。

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   在展开中心处取值。 由于 $e^{0}=1$，

   $f^{(n)}(0)=1\qquad\text{对一切 }n\ge 0$

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   代回模板。 每个分子都是 $1$，所以 $x^{n}$ 的系数就是 $\dfrac{1}{n!}$：

   $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots$

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   求收敛半径。 对相邻两项用比值判别法，

   $\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}\right|=\frac{|x|}{n+1}\longrightarrow 0$

   对每一个固定的 $x$ 都成立，所以级数在整个 $\mathbb{R}$ 上绝对收敛（收敛半径 $R=\infty$）。

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   取一个值粗略验算。 在 $x=1$ 处，部分和依次是 $1,\ 2,\ 2.5,\ 2.6\overline{6},\ 2.708\overline{3},\ 2.71\overline{6}$，正一步步逼近 $e=2.71828\ldots$，与 $e^{1}=\sum 1/n!$ 的结论一致。