求曲线 20x²⁰y + y⁸ = 33 − 30x⁶ 的 dy/dx。

Step-by-step solution

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   把 $y$ 看成 $x$ 的未知函数。 隐函数求导就是对等式两边同时关于 $x$ 求导，同时时刻记住每个 $y$ 其实是 $y(x)$。于是按链式法则，每求导一次 $y$ 就会留下一个因子 $\dfrac{dy}{dx}$——整套方法能行得通，靠的正是这个因子。

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   混合项用乘积法则求导。 $20x^{20}y$ 是两个都依赖 $x$ 的因子之积：

   $\frac{d}{dx}\left(20x^{20}y\right)=20\left(20x^{19}y+x^{20}\frac{dy}{dx}\right)=400x^{19}y+20x^{20}\frac{dy}{dx}$

   只对幂函数求导、写成孤零零的 $400x^{19}y$，是这里的典型错误。

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   再求只含 $y$ 的项和等号右边。

   $\frac{d}{dx}\left(y^{8}\right)=8y^{7}\frac{dy}{dx},\qquad \frac{d}{dx}\left(33-30x^{6}\right)=-180x^{5}$

   常数 $33$ 求导后什么也不剩。

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   把求导后的方程拼起来。

   $400x^{19}y+20x^{20}\frac{dy}{dx}+8y^{7}\frac{dy}{dx}=-180x^{5}$

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   把含 $\frac{dy}{dx}$ 的项归到一边并提取公因式。

   $\left(20x^{20}+8y^{7}\right)\frac{dy}{dx}=-180x^{5}-400x^{19}y$

   之所以总能这样提出来，是因为 $\frac{dy}{dx}$ 只以一次幂出现——多项式关系式的隐函数求导，结果关于 $\frac{dy}{dx}$ 永远是线性的。

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   两边相除并化简。

   $\frac{dy}{dx}=\frac{-180x^{5}-400x^{19}y}{20x^{20}+8y^{7}}=\frac{-45x^{5}-100x^{19}y}{5x^{20}+2y^{7}}$

   做个数值检验：取 $x=0.9$，由曲线解得 $y=1.38685$，代入公式得 $-2.2271533$，与对隐式定义的 $y(x)$ 做数值求导的结果在小数点后九位上一致 ✓。答案里同时含有 $x$ 和 $y$ 是正常的，隐函数的导数通常就是这样。