计算 x + 2y + 3z 在第一卦限中由 x + y + z = 1 围成的四面体上的三重积分。

Step-by-step solution

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   先把区域描述清楚。 平面 $x+y+z=1$ 连同 $x,y,z\ge0$ 围出的是单位四面体，四个顶点是原点和 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$。切片定限得到

   $0\le z\le1,\qquad0\le y\le1-z,\qquad0\le x\le1-y-z$

   于是积分写成 $\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1-z}\!\!\int_{0}^{1-y-z}(x+2y+3z)\,dx\,dy\,dz$。

2. 2

   用线性性拆开，而不是硬着头皮积这个和。

   $\iiint_{E}(x+2y+3z)\,dV=\iiint_{E}x\,dV+2\iiint_{E}y\,dV+3\iiint_{E}z\,dV$

   每一块现在都是单个变量的矩，而且它们之间由对称性联系着。

3. 3

   利用区域的对称性。 这个四面体在交换 $x$、$y$、$z$ 下完全对称——任意对调两个坐标，它都映到自身。因此

   $\iiint_{E}x\,dV=\iiint_{E}y\,dV=\iiint_{E}z\,dV$

   也就是说，三个积分里只需要算一个。

4. 4

   算出那个公共的值。 先对 $x$ 在 $0\le x\le1-y-z$ 上积分得 $\tfrac{(1-y-z)^{2}}{2}$，再把它在三角形 $y+z\le1$ 上积分，得到

   $\iiint_{E}x\,dV=\frac{1}{24}$

   （在 $240\times240$ 的网格上数值验算得 $0.0416659$，对照 $\tfrac1{24}=0.0416667$ ✓。）另外还可以交叉核对：三者之和等于 $\displaystyle\iiint_{E}(x+y+z)\,dV=\tfrac{3}{24}=\tfrac18$，这与四面体体积 $\tfrac16$、坐标和的平均值 $\tfrac34$ 是相符的。

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   把加权总和拼起来。

   $\frac{1}{24}+2\cdot\frac{1}{24}+3\cdot\frac{1}{24}=\frac{1+2+3}{24}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$

   答案是 $\tfrac14$。注意权重 $1,2,3$ 只通过它们的和起作用——这是对称性的直接后果，也说明动手硬算三个累次积分之前，值得先找一找对称性。