求 f(t) = t * sin(3t) 的导数。

Step-by-step solution

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   先看清这是一个乘积。 $f$ 是 $u = t$ 与 $v = \sin(3t)$ 的乘积，所以适用乘法法则：

   $\frac{d}{dt}\left[uv\right] = u'v + uv'$

   两个因子都没法事先化简掉，所以没有绕开它的捷径。

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   对简单的那个因子求导。

   $u = t \quad\Longrightarrow\quad u' = 1$

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   用链式法则对复合的那个因子求导。 $\sin(3t)$ 是外层函数 $\sin$ 作用在内层函数 $3t$ 上，而内层的导数是 $3$：

   $v = \sin(3t) \quad\Longrightarrow\quad v' = 3\cos(3t)$

   漏掉这个因子 $3$ 是本题最常见的错误。

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   按乘法法则拼起来。

   $f'(t) = (1)\sin(3t) + t\left(3\cos(3t)\right) = \sin(3t) + 3t\cos(3t)$

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   数值验证。 取 $t = 0.7$：公式给出 $\sin(2.1) + 2.1\cos(2.1) = 0.863209 - 1.060177 = -0.196967$。以步长 $10^{-6}$ 对 $f$ 在 $t = 0.7$ 处作中心差商，结果也是 $-0.196967$ —— 六位小数完全吻合。另注意 $f'(0) = \sin 0 + 0 = 0$，这与「在原点附近 $t\sin 3t \approx 3t^2$、因而有一个平坦的极小值」是一致的。