求 (3a·z²·sin y + 2z³·sin y·cos y) 在长方体 0 ≤ x ≤ 2π，π/2 ≤ y ≤ π，0 ≤ z ≤ a 上的三重积分，其中 a 是正常数。

Step-by-step solution

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   先利用「缺变量」这一点。 被积函数里完全不出现 $x$，而 $x$ 的上下限又都是常数。因此最外层积分只贡献一个区间长度：

   $I=2\pi\int_{\pi/2}^{\pi}\!\int_{0}^{a}\bigl(3az^{2}\sin y+2z^{3}\sin y\cos y\bigr)\,dz\,dy.$

   先看出这一点，等于还没真正动手就少了一个变量。

2. 2

   对 $z$ 积分，把 $\sin y$ 和 $\cos y$ 当常数。 两项都是 $z$ 的纯幂函数：

   $\int_{0}^{a}3az^{2}\,dz=3a\cdot\frac{a^{3}}{3}=a^{4},\qquad \int_{0}^{a}2z^{3}\,dz=2\cdot\frac{a^{4}}{4}=\frac{a^{4}}{2}.$

   于是内层积分是

   $a^{4}\sin y+\frac{a^{4}}{2}\sin y\cos y=a^{4}\Bigl(\sin y+\tfrac12\sin y\cos y\Bigr).$

   注意参数 $a$ 被整体提成了 $a^{4}$——最后的答案必然与 $a^{4}$ 成正比。

3. 3

   在 $[\pi/2,\pi]$ 上积第一个三角函数项。

   $\int_{\pi/2}^{\pi}\sin y\,dy=\bigl[-\cos y\bigr]_{\pi/2}^{\pi}=-(-1)-(0)=1.$

4. 4

   第二项用换元法。 令 $u=\cos y$，则 $du=-\sin y\,dy$，所以 $\int\sin y\cos y\,dy=-\tfrac{u^{2}}{2}=-\tfrac{\cos^{2}y}{2}$。于是

   $\frac12\int_{\pi/2}^{\pi}\sin y\cos y\,dy=\frac12\left[-\frac{\cos^{2}y}{2}\right]_{\pi/2}^{\pi}=-\frac14\bigl(1-0\bigr)=-\frac14.$

   出现负号是意料之中的：在 $(\pi/2,\pi)$ 上正弦为正而余弦为负，两者的乘积积出来当然是负的。

5. 5

   把三个因子合起来。 对 $y$ 的积分是 $1-\tfrac14=\tfrac34$，所以

   $I=2\pi\cdot a^{4}\cdot\frac34=\frac{3\pi a^{4}}{2}.$

   取 $a=2$，用自适应数值求积直接算原来的三重积分，得到 $75.398224$，而 $\tfrac32\pi\cdot 2^{4}=24\pi=75.398224$——两者一致。