计算 e 的 −(x² + y²) 次方在区域 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上的二重积分。

Step-by-step solution

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   别一上来就换极坐标。 极坐标是处理高斯函数的常规套路，但它只有在积分区域是圆盘或整个平面时才帮得上忙。这里的区域是个正方形，边界上的 $r$ 会随 $\theta$ 分段变化。正确的着手点是分离变量。

2. 2

   把被积函数拆成乘积。 指数上是一个和，所以指数函数本身就是一个乘积：

   $e^{-(x^2+y^2)} = e^{-x^2} e^{-y^2}$

   又因为上下限全是常数、每个因子只含一个变量，二重积分就拆成了两个一元积分的乘积：

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 e^{-x^2} e^{-y^2}\,dy\,dx = \left(\int_0^1 e^{-x^2}dx\right)\left(\int_0^1 e^{-y^2}dy\right) = \left(\int_0^1 e^{-t^2}dt\right)^2$

3. 3

   给这个一维积分起个名字。 函数 $e^{-t^2}$ 没有初等原函数，所以答案要借助误差函数来表达，它的定义是

   $\operatorname{erf}(a) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^a e^{-t^2}\,dt$

   反解一下就得到

   $\int_0^1 e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)$

4. 4

   取平方。

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 e^{-(x^2+y^2)}\,dA = \left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)\right)^2 = \frac{\pi}{4}\operatorname{erf}(1)^2$

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   算出数值并做合理性检查。 取 $\operatorname{erf}(1) = 0.8427008$：

   $\frac{\pi}{4}(0.8427008)^2 = 0.5577463$

   在正方形上直接做数值求积得到 $0.55774629$，八位数字完全一致。用范围估计也说得通：在这块面积为 $1$ 的区域上，被积函数从 $e^{-2} \approx 0.135$ 变到 $1$，而 $0.558$ 正好落在两者之间。