求 f(x) = cos²x 的原函数，并求它的导数。

Step-by-step solution

1. 1

   先用降幂公式把平方替掉。 正弦、余弦的平方没法直接套幂法则积分，但可以线性化：

   $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

   它由 $\cos 2x=2\cos^2x-1$ 移项得来，是处理 $\int\cos^2$ 或 $\int\sin^2$ 的标准第一步。

2. 2

   把化开后的积分拆成两项。

   $\int\cos^2 x\,dx=\frac{1}{2}\int 1\,dx+\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx$

3. 3

   逐项积分。 第二项内层是 $2x$，所以要补上 $\tfrac1k$ 这个系数：

   $\frac{1}{2}\int 1\,dx=\frac{x}{2},\qquad\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2}=\frac{\sin 2x}{4}$

   $\int\cos^2 x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$

4. 4

   顺带用链式法则把 $f$ 的导数也求出来。 把它看成 $f(x)=(\cos x)^2$：

   $f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$

   最后一步用的是二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$。

5. 5

   把原函数求导回去做检验。

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right)=\frac{1}{2}+\frac{2\cos 2x}{4}=\frac{1+\cos 2x}{2}=\cos^2 x\qquad\checkmark$

   数值上取 $x=0.9$：原函数的导数是 $0.386399$，而 $\cos^2(0.9)=0.386399$ $\checkmark$。另外 $\tfrac{x}{2}$ 这一项也与 $\cos^2$ 在一个周期上的平均值 $\tfrac12$ 吻合。