求由抛物线 y = x² 和直线 y = x + 2 围成的区域面积。

Step-by-step solution

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   先把交点找出来。 令 $x^2=x+2$ 得 $x^2-x-2=0$，因式分解成 $(x-2)(x+1)=0$，所以两条曲线在 $x=-1$ 和 $x=2$ 处相交。这两个值就是积分的上下限。

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   判断哪条曲线在上面。 取中间的 $x=0.5$ 试一下：直线给出 $2.5$，抛物线只有 $0.25$。在整个 $(-1,2)$ 上直线都压着抛物线，所以被积函数是「直线减抛物线」。

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   列出积分。 面积 $=\displaystyle\int_{-1}^{2}\left[(x+2)-x^2\right]dx$。用上边的减下边的，可以保证被积函数恒为正，因此既不用套绝对值，也不用分段讨论。

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   求原函数。 $\int\left(x+2-x^2\right)dx=\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}$。

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   代入上下限。 当 $x=2$ 时：$2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$；当 $x=-1$ 时：$\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}$。两者之差为 $\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$。

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   数值上再确认一下。 对 $(x+2)-x^2$ 在 $[-1,2]$ 上用辛普森法则算得 $4.5000$，与 $\frac{9}{2}$ 个平方单位完全对得上。