对 y = -(1/2) sin(3.14/3 - x^2)，写出定义域并求 dy/dx。

Step-by-step solution

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   先写定义域。 正弦函数对任何实数输入都有定义，而 $\frac{3.14}{3}-x^{2}$ 是多项式，对一切 $x$ 都有定义，所以这个复合函数处处有定义：

   $\mathcal{D}=\mathbb{R}.$

   这里的 $3.14$ 是一个小数常数（在以逗号作小数点的写法里写成 $3{,}14$），并不是 $\pi$ —— 这对求导没有影响，但如果后面要数值求解 $y=0$ 就有区别了。

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   分清内层函数与外层函数。 令

   $u=\frac{3.14}{3}-x^{2},\qquad y=-\frac12\sin u.$

   把内层函数明确命名出来，是链式法则不出错的关键；常数 $-\tfrac12$ 只是作为系数一路带着走。

3. 3

   对外层函数求导。 因为 $\frac{d}{du}\sin u=\cos u$，所以

   $\frac{dy}{du}=-\frac12\cos u.$

   由常数倍法则，$-\tfrac12$ 可以原封不动地穿过求导运算。

4. 4

   对内层函数求导并相乘。 常数 $\frac{3.14}{3}$ 求导得 $0$，于是

   $\frac{du}{dx}=-2x,$

   再由链式法则

   $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\left(-\frac12\cos u\right)(-2x)=x\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right).$

   两个负号相消，$\tfrac12$ 又与 $2$ 约掉，这正是最终答案的系数恰好为 $1$ 的原因。

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   数值验证并说明驻点。 取 $x=1.1$，对 $y$ 作中心差商得 $1.0853598$，而 $x\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right)=1.0853598$ ✓。当 $x=0$ 或 $\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right)=0$（即 $x^{2}=\frac{3.14}{3}-\frac{\pi}{2}-k\pi$）时导数为零 —— 所以 $x=0$ 恒为驻点，其余驻点按余弦零点的间距分布。