对 f(x) = 2x^2 - 3x + 4，求差商 (f(x + h) - f(x))/h（其中 h 不为零）并化简。

Step-by-step solution

1. 1

   把整个式子 x + h 代进去，写出 f(x + h)。 函数表达式里的每一个 $x$ 都要替换掉，括号也要带上：

   $f(x+h)=2(x+h)^{2}-3(x+h)+4.$

2. 2

   仔细展开。 平方这一步最容易漏掉中间项：$(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$，所以

   $f(x+h)=2x^{2}+4xh+2h^{2}-3x-3h+4.$

3. 3

   减去 f(x)，注意观察抵消情况。 由 $f(x)=2x^{2}-3x+4$，所有不含 $h$ 的项都会消失：

   $f(x+h)-f(x)=\left(2x^{2}-2x^{2}\right)+4xh+2h^{2}+\left(-3x+3x\right)-3h+\left(4-4\right)=4xh+2h^{2}-3h.$

   如果这里还剩下不含 $h$ 的项，那就是算错了 —— 分子必定能被 $h$ 整除。

4. 4

   从分子里提出 h。

   $4xh+2h^{2}-3h=h\left(4x+2h-3\right).$

5. 5

   把 h 约掉。 之所以能这么做，正是因为题目给了 $h\neq 0$：

   $\frac{h\left(4x+2h-3\right)}{h}=4x+2h-3.$

6. 6

   解读这个结果。 令 $h\to 0$ 得到 $4x-3$，这恰好就是 $f'(x)$ —— 差商就是取极限之前的导数。这也提供了一个快速检验的办法：对 $2x^2-3x+4$ 逐项求导，看看是不是得到 $4x-3$。