计算 (e^y + x) dx + (x e^y − 2y) dy 沿经过点 (0,0)、(0,1) 和 (1,2) 的闭三角形路径的曲线积分。

Step-by-step solution

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   别急着参数化，先想格林公式。 路径是闭的、分段光滑的，如果分别参数化三条线段，就要算三个带 $e^y$ 的麻烦积分。格林公式能把整件事化成所围三角形区域 $D$ 上的一个二重积分：

   $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

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   认出 P 和 Q。

   $P(x,y)=e^{y}+x,\qquad Q(x,y)=xe^{y}-2y$

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   算两个偏导数。 对 $x$ 求 $Q$ 的偏导时把 $y$ 看作常数，所以 $e^y$ 只是个常数因子，$-2y$ 直接消失：

   $\frac{\partial Q}{\partial x}=e^{y}$

   对 $y$ 求 $P$ 的偏导时，含 $x$ 的那一项消失：

   $\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}$

4. 4

   相减再积分。

   $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}-e^{y}=0$

   于是

   $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D 0\,dA=0$

   $\boxed{0}$

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   说明为什么三角形长什么样根本不重要。 因为在整个平面（单连通区域）上处处有 $\partial Q/\partial x=\partial P/\partial y$，这个向量场是保守场：它是势函数

   $\varphi(x,y)=xe^{y}+\tfrac{x^2}{2}-y^2$

   的梯度，验证一下 $\varphi_x=e^y+x=P$、$\varphi_y=xe^y-2y=Q$ 即可。因此沿任何闭合回路走一圈都会回到同一个势值，积分为 $0$——题中给的三个顶点换成任意别的点，结果都一样。

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   直接用势函数验算。 沿 $(0,0)\to(0,1)\to(1,2)\to(0,0)$ 走一圈，$\varphi$ 依次取值 $0$、$-1$、$e^2+\tfrac12-4$，最后回到 $0$。把三段差值加起来正好裂项相消为 $0$，与格林公式的结果一致。