求 4x^2·z^3·y 的三重积分，其中 x 从 2 到 3，y 从 1 到 2，z 从 0 到 1。

Step-by-step solution

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   先注意到被积函数是可以分离的。 $4x^2z^3y$ 是 $\left(4x^2\right)\cdot(y)\cdot\left(z^3\right)$ 这样的乘积，每个变量各占一个因子，而积分区域是长方体，每个变量的上下限都是常数。同时满足这两个条件时，三重积分就分解成三个一元积分的乘积。

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   对 $x$ 从 2 积到 3。 $\displaystyle\int_2^3 4x^2\,dx=\left[\frac{4x^3}{3}\right]_2^3=\frac{4(27-8)}{3}=\frac{76}{3}$。

3. 3

   对 $y$ 从 1 积到 2。 $\displaystyle\int_1^2 y\,dy=\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2=\frac{4-1}{2}=\frac32$。

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   对 $z$ 从 0 积到 1。 $\displaystyle\int_0^1 z^3\,dz=\left[\frac{z^4}{4}\right]_0^1=\frac14$。

5. 5

   把三个结果乘起来。 $\frac{76}{3}\cdot\frac32\cdot\frac14=\frac{76}{8}=\frac{19}{2}=9.5$。

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   数值验证。 对同一个累次积分做嵌套的复合辛普森计算，返回 $9.4999999\ldots$，与精确值 $\tfrac{19}{2}$ 在七位有效数字上一致。