判断下述命题是否成立：若三项一组得到的级数 (a_(3n−2) + a_(3n−1) + a_(3n)) 收敛，且 a_n 趋于 0，则级数 Σa_n 收敛。请给出证明或反例。

Step-by-step solution

1. 1

   把两个条件都翻译成关于部分和的说法。 记 $S_N=\sum_{k=1}^{N}a_k$。三项一组地加括号既没有重排也没有遗漏任何一项，所以分组后级数的第 $n$ 个部分和恰好是

   $\left(a_1+a_2+a_3\right)+\cdots+\left(a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}\right)=S_{3n}$

   于是第一个条件说的正是：子列 $S_{3n}$ 收敛，设其极限为 $S$。

2. 2

   看清还缺什么。 一个子列收敛本身并不能保证整个数列收敛——还必须说明其余的部分和 $S_{3n+1}$ 与 $S_{3n+2}$ 也趋于同一个极限。第二个条件正是为此而设的。

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   处理这两个中间的部分和。

   $S_{3n+1}=S_{3n}+a_{3n+1},\qquad S_{3n+2}=S_{3n}+a_{3n+1}+a_{3n+2}$

   由于 $a_k\to 0$，有 $a_{3n+1}\to 0$ 和 $a_{3n+2}\to 0$，所以

   $S_{3n+1}\to S+0=S,\qquad S_{3n+2}\to S+0+0=S$

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   把三个子列合起来。 每个下标 $N$ 都形如 $3n$、$3n+1$ 或 $3n+2$，而 $\{S_N\}$ 的这三个子列都趋于同一个极限 $S$。一个数列若其全部下标被有限多个都收敛到 $S$ 的子列覆盖，那它本身也收敛到 $S$：

   $\lim_{N\to\infty}S_N=S\quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n=S$

   $\boxed{\text{该命题为真}}$

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   说说第二个条件为什么不能去掉。 没有 $a_n\to 0$，结论就不成立：取 $a_n=1,-1,0,1,-1,0,\ldots$——每三项一组的和都是 $0$，所以分组后的级数收敛，但部分和 $S_N$ 在 $1,0,0,1,0,0,\ldots$ 之间循环，始终不趋于任何值。这里 $a_n\not\to 0$，而这正是那个条件所堵住的漏洞。

6. 6

   当心一个流传甚广的「反例」。 有些解答给出 $a_n=\tfrac{(-1)^n}{n}$ 作为反例，可 $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ 按交错级数判别法是收敛的（收敛到 $-\ln 2$），什么也没否定。真正的反例必须违反两个条件之一——而由上面的证明可知，这样的反例并不存在。