求 √(x² + 1) 在 x = 0 处的泰勒级数，写出通项，并说明收敛区间。

Step-by-step solution

1. 1

   取 $t=x^{2}$ 套二项级数。 广义二项式定理给出

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n},$

   这里 $\alpha=\tfrac12$，$t=x^{2}$。因为 $t$ 本身是一个平方，所以只可能出现 $x$ 的偶次幂——这也正合情理，毕竟 $\sqrt{x^{2}+1}$ 是偶函数。

2. 2

   逐个把系数算出来。 由 $\binom{1/2}{n}=\frac{\tfrac12\left(\tfrac12-1\right)\cdots\left(\tfrac12-n+1\right)}{n!}$：

   $n=1:\ \tfrac12x^{2};\qquad n=2:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2}x^{4}=-\tfrac18x^{4};$

   $n=3:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{6}x^{6}=\tfrac{1}{16}x^{6};\qquad n=4:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{24}x^{8}=-\tfrac{5}{128}x^{8}.$

   与展开 $\sqrt{1+2x}$ 不同，这里没有 $2^{n}$ 这个因子要拖着走——换元带进来的是 $x$ 的幂，而不是一个常数。

3. 3

   写出展开式。 把各项收拢，

   $\sqrt{1+x^{2}}=1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{6}}{16}-\frac{5x^{8}}{128}+\cdots$

   从 $x^{4}$ 那一项起符号开始正负交替，而且系数衰减很快，所以对较小的 $x$ 只取几项就相当准了。

4. 4

   给出通项。 写成闭式就是

   $\sqrt{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^{2n},\qquad \binom{1/2}{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{4^{n}(2n-1)}\binom{2n}{n}\ (n\ge1).$

   拿 $n=2$ 核对：$\frac{-1}{16\cdot 3}\cdot 6=-\frac{6}{48}=-\frac18$ ✓，与 $x^{4}$ 的系数一致。

5. 5

   确定收敛区间。 二项级数要求 $|t|=|x^{2}|<1$，也就是 $|x|<1$。在 $x=\pm1$ 处各项的量级像 $n^{-3/2}$，所以在端点也绝对收敛，收敛区间是闭区间 $[-1,1]$。在 $x=1$ 处它收敛到 $\sqrt2=1.4142136$，但收敛得很慢：截到 $x^{8}$ 那一项才 $1.3984375$，取到 $x^{20}$ 那一项是 $1.40993$，取到 $x^{80}$ 也不过 $1.41366$。收敛快是区间内部的特点，端点上并没有这个待遇。