求当 x 趋于 0 时 (ln(1 + 2x) − 2x)/x² 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先判断类型，并想清楚要展开到几阶。 在 $x = 0$ 处分子是 $\ln 1 - 0 = 0$，分母是 $0$，所以这是 $0/0$ 型。既然分母是 $x^2$，分子至少要展开到 $x^2$ 这一阶——只展开到一阶会得到 $0$，什么信息也给不了。

2. 2

   把 ln(1 + u) 展开到二阶。 麦克劳林级数是

   $\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$

   令 $u = 2x$ 代入：

   $\ln(1 + 2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^3) = 2x - 2x^2 + O(x^3)$

   注意 $(2x)^2 = 4x^2$，所以二次项系数是 $-2$，不是 $-\tfrac12$。

3. 3

   减去 2x——一次项是被设计好要抵消的。

   $\ln(1 + 2x) - 2x = -2x^2 + O(x^3)$

   这个抵消正是本题的用意所在：那个 $-2x$ 就是特意放在那里，好把对数函数的二次行为暴露出来。

4. 4

   除以 x²。

   $\frac{\ln(1 + 2x) - 2x}{x^2} = \frac{-2x^2 + O(x^3)}{x^2} = -2 + O(x)$

   令 $x \to 0$，余项 $O(x)$ 消失，所以极限是 $-2$。

5. 5

   用一次洛必达法则再化简来交叉验证。 第一次求导后：

   $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2x} - 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4x}{2x(1 + 2x)}$

   化简成 $\lim_{x \to 0} \frac{-2}{1 + 2x} = -2$。数值上，在 $x = 10^{-4}$ 处商是 $-1.99973$，在 $x = -10^{-4}$ 处是 $-2.00027$，正好把 $-2$ 夹在中间。