求 x 趋于 3 时 √(x² + 6x − 2) 的极限。

Step-by-step solution

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   先在目标点处检查根号里的式子。 先算内部，因为整道题的关键就在于根式在那里有没有定义、连不连续：

   $x^2+6x-2 \Big|_{x=3} = 9 + 18 - 2 = 25$

   它是正的，所以 $\sqrt{\cdot}$ 在该点的一个邻域内连续，直接代入是合法的。

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   把极限号移到根号里面去。 对连续的外层函数，

   $\lim_{x\to 3}\sqrt{g(x)} = \sqrt{\lim_{x\to 3} g(x)}$

   这就是复合函数的极限法则，正是它让这道题一步就能做完。

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   代入并化简。

   $\sqrt{\lim_{x\to 3}(x^2+6x-2)} = \sqrt{25} = 5$

   这里取的是算术平方根，所以答案是 $+5$，而不是 $\pm 5$。

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   说说这条捷径什么时候会失灵。 如果根号里的式子趋于一个负值，在实数范围内双侧极限就不存在；如果它趋于 $0$，就得再检查函数在两侧是否都有定义。这两种情况这里都没发生 —— 对一切 $x > -3 + \sqrt{11} \approx 0.317$，根号内的 $x^2+6x-2$ 都是正的，$x = 3$ 稳稳落在这个范围里。

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   数值确认。 $x = 2.99$ 时：$\sqrt{8.9401+17.94-2} = \sqrt{24.8801} = 4.98800$。$x = 3.01$ 时：$\sqrt{9.0601+18.06-2} = \sqrt{25.1201} = 5.01200$。两个单侧值把 $5$ 夹在中间并不断向它逼近 ✓，符号计算给出的极限也正好是 $5$。