求当 x 趋于 1 时 (3x³ − 2x − 1) / (5x² + 3x − 8) 的极限。

Step-by-step solution

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   先代入，看看这是哪一类极限。 直接代入永远是第一步：

   $3(1)^3-2(1)-1=0,\qquad 5(1)^2+3(1)-8=0$

   得到的是 $\tfrac{0}{0}$，它不是答案——它是一个信号，说明这两个多项式有公因式。

2. 2

   用因式定理。 若多项式 $p$ 满足 $p(1)=0$，则它能被 $x-1$ 整除。我们这两个多项式在 $x=1$ 处都为零，所以都带着这个因式。把分子除以 $x-1$：

   $3x^3-2x-1=(x-1)(3x^2+3x+1)$

   乘回去验证：$3x^3+3x^2+x-3x^2-3x-1=3x^3-2x-1$。

3. 3

   用同样的办法分解分母。

   $5x^2+3x-8=(x-1)(5x+8)$

   验证：$5x^2+8x-5x-8=5x^2+3x-8$。两个分解都是精确的，没有任何近似。

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   约分——并说清为什么这样做合法。 $x\to 1$ 的极限只看 $x\neq 1$ 的那些点，而当 $x\neq 1$ 时因式 $x-1$ 是一个非零的数，可以放心除掉：

   $\frac{(x-1)(3x^2+3x+1)}{(x-1)(5x+8)}=\frac{3x^2+3x+1}{5x+8}$

   新函数与原函数只在 $x=1$ 这一个点上不同，而极限恰恰不看这一点。

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   对约分后的分式再代入一次。 分母不再为零（$5+8=13\neq 0$），所以现在代入就管用了：

   $\lim_{x\to 1}\frac{3x^2+3x+1}{5x+8}=\frac{3+3+1}{5+8}=\frac{7}{13}$

6. 6

   做个数值上的合理性检验。 在 $x=1.001$ 处原来的商是 $0.53895$，在 $x=0.999$ 处是 $0.53798$；两者正好把 $\tfrac{7}{13}=0.53846$ 夹在中间，从两侧同时印证了这个值。