求 ln(x + √(x² − a²)) 关于 x 的导数。

Step-by-step solution

1. 1

   先摆开对数的链式法则。 令 $u = x + \sqrt{x^2 - a^2}$，则 $y = \ln u$，于是 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{u'}{u}$。整道题就归结为算出 $u'$，并期待它和 $u$ 有公因式——对这个特定的组合来说，还真有。

2. 2

   先对根式求导。 由链式法则，

   $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 - a^2} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

   所以 $u' = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$。

3. 3

   把分子通分到同一个分母上。

   $u' = \frac{\sqrt{x^2 - a^2} + x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

   现在分子恰恰就是 $u$ 本身——正是这个结构上的巧合让答案如此干净。

4. 4

   相除，约掉。

   $\frac{dy}{dx} = \frac{u'}{u} = \frac{x + \sqrt{x^2 - a^2}}{\sqrt{x^2 - a^2}} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

5. 5

   看清这个函数是谁，以及它的定义域。 因为 $\operatorname{arcosh}(x/a) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 - a^2}\right) - \ln a$，这个表达式与反双曲余弦只差一个常数，所以它的导数自然与 $\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh}(x/a)$ 相同。它在 $x > |a|$ 上成立，此时被开方数为正。顺带对照一下 $\ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right)$，它的导数是 $1/\sqrt{x^2 + a^2}$（反双曲正弦的情形），而且对一切实数 $x$ 都有定义。

6. 6

   数值检验。 取 $a = 2$、$x = 3$。步长 $10^{-6}$ 的中心差商给出 $0.4472136$，而 $1/\sqrt{9-4} = 1/\sqrt5 = 0.4472136$，两者在小数点后七位一致。