求当 x 趋于 0 时 sin(x)/x 的极限。

Step-by-step solution

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   先看它是什么类型。 当 $x\to0$ 时 $\sin x\to0$ 且 $x\to0$，代入得到 $\tfrac00$——未定式。这个极限不能靠代入求出，严格说来也不该靠洛必达法则求，因为导数 $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ 本身通常正是用这个极限证出来的。

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   摆好几何比较。 对 $0<x<\tfrac{\pi}{2}$，比较单位圆里的三块面积：面积为 $\tfrac12\sin x$ 的三角形、面积为 $\tfrac12x$ 的扇形，以及面积为 $\tfrac12\tan x$ 的那个更大的三角形。由于每一块都包含前一块，

   $\frac12\sin x\le\frac12x\le\frac12\tan x.$

   中间那一项正是弧度制登场的地方：扇形面积等于 $\tfrac12r^{2}x$ 只有在 $x$ 取弧度时才成立。

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   整理成夹逼的形式。 各项同除以 $\tfrac12\sin x>0$ 得 $1\le\frac{x}{\sin x}\le\frac{1}{\cos x}$，再取倒数，不等号方向翻转：

   $\cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1.$

   $\frac{\sin x}{x}$ 与 $\cos x$ 都是偶函数，所以同样的界在 $-\tfrac{\pi}{2}<x<0$ 上也成立，这一个论证就同时覆盖了两侧。

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   用夹逼定理收尾。 当 $x\to0$ 时 $\cos x\to1$，常数项 $1\to1$，被夹在中间的量别无选择：

   $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

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   数值确认，并记住弧度这个前提。 用弧度计算：$x=0.1$ 时比值为 $0.998334$，$x=0.01$ 时为 $0.9999833$，$x=0.001$ 时为 $0.99999983$——从下方逼近 $1$，与界 $\cos x\le\frac{\sin x}{x}$ 相符 ✓。如果 $x$ 用角度度量，这个极限就会变成 $\frac{\pi}{180}\approx0.01745$，这正是微积分一律用弧度的原因。